|
Центр развития дополнительного образования имени Бернулли
Ликбез, глава 2. Вписанный угол
|
|
Основные сведения |
1. Угол ABC, вершина которого лежит на окружности, а стороны
пересекают эту окружность, называют вписанным в окружность. Пусть O —
центр окружности. Тогда
|
если точки B и O лежат по одну сторону от AC,
и
|
если точки B и O лежат по разные стороны от AC. Важнейшим и наиболее часто используемым следствием этого факта является то, что величины углов, опирающихся на равные хорды, либо равны, либо составляют в сумме 180°.
2. Величина угла между хордой AB и касательной к окружности, проходящей через точку A, равна половине угловой величины дуги AB.
3. Угловые величины дуг, заключенных между параллельными хордами, равны.
4. Как уже говорилось, величины углов, опирающихся на одну хорду, могут быть равны, а могут составлять в сумме 180°. Для того чтобы не рассматривать различные варианты расположения точек на окружности, введем понятие «ориентированный угол между прямыми». Величиной ориентированного угла между прямыми AB и CD (обозначение: Ð(AB,CD)) будем называть величину угла. на который нужно повернуть против часовой стрелки прямую AB так, чтобы она стала параллельна прямой CD. При этом углы, отличающиеся на n · 180°, считаются равными. Следует отметить, что ориентированный угол между прямыми CD и AB не равен ориентированному углу между прямыми AB и CD (они составляют в сумме 180° или, что по нашему соглашению то же самое, 0°).
Легко проверить следующие свойства ориентированных углов:
а) Ð(AB,BC) = – Ð(BC,AB);
б) Ð(AB,CD) + Ð(CD,EF) = Ð(AB,EF);
в) точки A,B,C,D, не лежащие на одной прямой, принадлежат одной окружности тогда и только тогда, когда Ð(AB,BC) = Ð(AD,DC) (для доказательства этого свойства нужно рассмотреть два случая: точки B и D лежат по одну сторону от AC; точки B и D лежат по разные стороны от AC).
|
Вводные задачи |
1.
а) Из точки A, лежащей вне окружности, выходят лучи AB и AC, пересекающие эту окружность. Докажите, что величина угла BAC равна полуразности угловых величин дуг окружности, заключенных внутри этого угла.
б) Вершина угла BAC расположена внутри окружности. Докажите, что величина угла BAC равна полусумме угловых величин дуг окружности, заключенных внутри угла BAC и внутри угла, симметричного ему относительно вершины A.
2.
Из точки P, расположенной внутри острого угла BAC, опущены перпендикуляры PC1 и PB1 на прямые AB и AC. Докажите, что ÐC1AP = ÐC1B1P.
3.
Докажите, что все углы, образованные сторонами и диагоналями правильного n-угольника, кратны 180°/n.
4.
Центр вписанной окружности треугольника ABC симметричен центру описанной окружности относительно стороны AB. Найдите углы треугольника ABC.
5.
Биссектриса внешнего угла при вершине C треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке D. Докажите, что AD = BD.
Вершина A остроугольного треугольника ABC соединена отрезком с центром O описанной окружности. Из вершины A проведена высота AH. Докажите, что ÐBAH = ÐOAC.
Две окружности пересекаются в точках M и K. Через M и K проведены прямые AB и CD соответственно, пересекающие первую окружность в точках A и C, вторую в точках B и D. Докажите, что AC||BD.
Из произвольной точки M, лежащей внутри данного угла с вершиной A, опущены перпендикуляры MP и MQ на стороны угла. Из точки A опущен перпендикуляр AK на отрезок PQ. Докажите, что ÐPAK = ÐMAQ.
а) Продолжение биссектрисы угла B треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке M; O- центр вписанной окружности, Ob- центр вневписанной окружности, касающейся стороны AC. Докажите, что точки A,C,O и Ob лежат на окружности с центром M.
б) Точка O, лежащая внутри треугольника ABC, обладает тем свойством, что прямые AO,BO и CO проходят через центры описанных окружностей треугольников BCO,ACO и ABO. Докажите, что O- центр вписанной окружности треугольника ABC.
Вершины A и B треугольника ABC с прямым углом C скользят по сторонам прямого угла с вершиной P. Докажите, что точка C перемещается при этом по отрезку.
Диагональ AC квадрата ABCD совпадает с гипотенузой прямоугольного треугольника ACK, причем точки B и K лежат по одну сторону от прямой AC. Докажите, что BK = |AK – CK|/Ö2 и DK = (AK + CK)/Ö2.
В треугольнике ABC проведены медианы AA1 и BB1. Докажите, что если ÐCAA1 = ÐCBB1, то AC = BC.
Все углы треугольника ABC меньше 120°. Докажите, что внутри его существует точка, из которой все стороны треугольника видны под углом 120°.
Окружность разделена на равные дуги n диаметрами. Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из произвольной точки M, лежащей внутри окружности, на эти диаметры, являются вершинами правильного многоугольника.
На окружности даны точки A,B,M и N. Из точки M проведены хорды MA1 и MB1, перпендикулярные прямым NB и NA соответственно. Докажите, что AA1||BB1.
Шестиугольник ABCDEF вписанный, причем AB||DE и BC||EF. Докажите, что CD||AF.
Многоугольник A1A2… A2n вписанный. Про все пары его противоположных сторон, кроме одной, известно, что они параллельны. Докажите, что при n нечетном оставшаяся пара сторон тоже параллельна, а при n четном оставшаяся пара сторон равна по длине.
Дан треугольник ABC. Докажите, что существует два семейства правильных треугольников, стороны которых (или их продолжения) проходят через точки A,B и C. Докажите также, что центры треугольников этих семейств лежат на двух концентрических окружностях.
Решить задачи этого параграфа помогает следующий факт. Пусть A,B,C,D- точки на окружности в указанном порядке. Тогда угол между хордами AC и BD равен (ÈAB + ÈCD)/2, угол между хордами AB и CD равен |ÈAD – ÈCB|/2. (Для доказательства нужно через конец одной из хорд провести хорду, параллельную другой хорде.)
На окружности даны точки A,B,C,D в указанном порядке. M- середина дуги AB. Обозначим точки пересечения хорд MC и MD с хордой AB через E и K. Докажите, что KECD- вписанный четырехугольник.
По стороне правильного треугольника катится окружность радиуса, равного его высоте. Докажите, что угловая величина дуги, высекаемой на окружности сторонами треугольника, всегда равна 60°.
Диагонали равнобедренной трапеции ABCD с боковой стороной AB пересекаются в точке P. Докажите, что центр O ее описанной окружности лежит на описанной окружности треугольника APB.
На окружности даны точки A,B,C,D в указанном порядке; A1,B1,C1 и D1- середины дуг AB,BC,CD и DA соответственно. Докажите, что A1C1^B1D1.
Внутри треугольника ABC взята точка P так, что ÐBPC = ÐA + 60°, ÐAPC = ÐB + 60° и ÐAPB = ÐC + 60°. Прямые AP,BP и CP пересекают описанную окружность треугольника ABC в точках A¢,B¢ и C¢. Докажите, что треугольник A¢B¢C¢ правильный.
На окружности взяты точки A,C1,B,A1,C,B1 в указанном порядке.
а) Докажите, что если прямые AA1,BB1 и CC1 являются биссектрисами углов треугольника ABC, то они являются высотами треугольника A1B1C1.
б) Докажите, что если прямые AA1,BB1 и CC1 являются высотами треугольника ABC, то они являются биссектрисами углов треугольника A1B1C1.
В окружность вписаны треугольники T1 и T2, причем вершины треугольника T2 являются серединами дуг, на которые окружность разбивается вершинами треугольника T1. Докажите, что в шестиугольнике, являющемся пересечением треугольников T1 и T2, диагонали, соединяющие противоположные вершины, параллельны сторонам треугольника T1 и пересекаются в одной точке.
Две окружности пересекаются в точках P и Q. Через точку A первой окружности проведены прямые AP и AQ, пересекающие вторую окружность в точках B и C. Докажите, что касательная в точке A к первой окружности параллельна прямой BC.
Окружности S1 и S2 пересекаются в точках A и P. Через точку A проведена касательная AB к окружности S1, а через точку P- прямая CD, параллельная AB (точки B и C лежат на S2, точка D- на S1). Докажите, что ABCD- параллелограмм.
Окружности S1 и S2 пересекаются в точках A и B. Через точку A проведена касательная AQ к окружности S1 (точка Q лежит на S2), а через точку B - касательная BS к окружности S2 (точка S лежит на S1). Прямые BQ и AS пересекают окружности S1 и S2 в точках R и P. Докажите, что PQRS - параллелограмм.
Касательная в точке A к описанной окружности треугольника ABC пересекает прямую BC в точке E; AD- биссектриса треугольника ABC. Докажите, что AE = ED.
Окружности S1 и S2 пересекаются в точке A. Через точку A проведена прямая, пересекающая S1 в точке B, S2 в точке C. В точках C и B проведены касательные к окружностям, пересекающиеся в точке D. Докажите, что угол BDC не зависит от выбора прямой, проходящей через A.
Две окружности пересекаются в точках A и B. Из точки A к этим окружностям проведены касательные AM и AN (M и N- точки окружностей). Докажите, что:
а) ÐABN + ÐMAN = 180°;
б) BM/BN = (AM/AN)2.
Две окружности касаются внутренним образом в точке M. Пусть AB- хорда большей окружности, касающаяся меньшей окружности в точке T. Докажите, что MT- биссектриса угла AMB.
Через точку M, лежащую внутри окружности S, проведена хорда AB; из точки M опущены перпендикуляры MP и MQ на касательные, проходящие через точки A и B. Докажите, что величина 1/PM + 1/QM не зависит от выбора хорды, проходящей через точку M.
Окружность S1 касается сторон угла ABC в точках A и C. Окружность S2 касается прямой AC в точке C и проходит через точку B, окружность S1 она пересекает в точке M. Докажите, что прямая AM делит отрезок BC пополам.
Окружность S касается окружностей S1 и S2 в точках A1 и A2; B- точка окружности S, а K1 и K2- вторые точки пересечения прямых A1B и A2B с окружностями S1 и S2. Докажите, что если прямая K1K2 касается окружности S1, то она касается и окружности S2.
В окружность вписаны равнобедренные трапеции ABCD и A1B1C1D1 с соответственно параллельными сторонами. Докажите, что AC = A1C1.
Из точки M, двигающейся по окружности, опускаются перпендикуляры MP и MQ на диаметры AB и CD. Докажите, что длина отрезка PQ не зависит от положения точки M.
В треугольнике ABC угол B равен 60°, биссектрисы AD и CE пересекаются в точке O. Докажите, что OD = OE.
В треугольнике ABC углы при вершинах B и C равны 40°; BD- биссектриса угла B. Докажите, что BD + DA = BC.
На хорде AB окружности S с центром O взята точка C. Описанная окружность треугольника AOC пересекает окружность S в точке D. Докажите, что BC = CD.
Внутри квадрата ABCD выбрана точка M так, что ÐMAC = ÐMCD = a. Найдите величину угла ABM.
Вершины A и B правильного треугольника ABC лежат на окружности S, а вершина C- внутри этой окружности. Точка D лежит на окружности S, причем BD = AB. Прямая CD пересекает S в точке E. Докажите, что длина отрезка EC равна радиусу окружности S.
По неподвижной окружности, касаясь ее изнутри, катится без скольжения окружность вдвое меньшего радиуса. Какую траекторию описывает фиксированная точка K подвижной окружности?
Из произвольной точки M катета BC прямоугольного треугольника ABC на гипотенузу AB опущен перпендикуляр MN. Докажите, что ÐMAN = ÐMCN.
Диагонали трапеции ABCD с основаниями AD и BC пересекаются в точке O; точки B¢ и C¢ симметричны вершинам B и C относительно биссектрисы угла BOC. Докажите, что ÐC¢AC = ÐB¢DB.
Продолжения сторон AB и CD вписанного четырехугольника ABCD пересекаются в точке P, а продолжения сторон BC и AD- в точке Q. Докажите, что точки пересечения биссектрис углов AQB и BPC со сторонами четырехугольника являются вершинами ромба.
Вписанная окружность касается сторон AB и AC треугольника ABC в точках M и N. Пусть P- точка пересечения прямой MN и биссектрисы угла B (или ее продолжения). Докажите, что:
a) ÐBPC = 90°;
б) SABP : SABC = 1 : 2.
Внутри четырехугольника ABCD взята точка M так, что ABMD- параллелограмм. Докажите, что если ÐCBM = ÐCDM, то ÐACD = ÐBCM.
Прямые AP,BP и CP пересекают описанную окружность треугольника ABC в точках A1,B1 и C1. Точки A2, B2 и C2 взяты на прямых BC,CA и AB так, что Ð(PA2,BC) = Ð(PB2,CA) = Ð(PC2,AB). Докажите, что DA2B2C2 ~ DA1B1C1.
Вокруг правильного треугольника APQ описан прямоугольник ABCD, причем точки P и Q лежат на сторонах BC и CD соответственно; P¢ и Q¢- середины сторон AP и AQ. Докажите, что треугольники BQ¢C и CP¢D правильные.
Докажите, что если для вписанного четырехугольника ABCD выполнено равенство CD = AD + BC, то точка пересечения биссектрис углов A и B лежит на стороне CD.
Диагонали AC и CE правильного шестиугольника ABCDEF разделены точками M и N так, что AM : AC = CN : CE = l. Найдите l, если известно, что точки B,M и N лежат на одной прямой.
Треугольники ABC и A1B1C1 имеют соответственно параллельные стороны, причем стороны AB и A1B1 лежат на одной прямой. Докажите, что прямая, соединяющая точки пересечения описанных окружностей треугольников A1BC и AB1C, содержит точку C1.
В треугольнике ABC проведены высоты AA1,BB1 и CC1. Прямая KL параллельна CC1, причем точки K и L лежат на прямых BC и B1C1 соответственно. Докажите, что центр описанной окружности треугольника A1KL лежит на прямой AC.
Через точку O пересечения биссектрис треугольника ABC проведена прямая MN перпендикулярно CO, причем M и N лежат на сторонах AC и BC соответственно. Прямые AO и BO пересекают описанную окружность треугольника ABC в точках A¢ и B¢. Докажите, что точка пересечения прямых A¢N и B¢M лежит на описанной окружности.
На окружности взяты точки A,B,C и D. Прямые AB и CD пересекаются в точке M. Докажите, что AC · AD/AM = BC · BD/BM.
На окружности даны точки A,B и C, причем точка B более удалена от прямой l, касающейся окружности в точке A, чем C. Прямая AC пересекает прямую, проведенную через точку B параллельно l, в точке D. Докажите, что AB2 = AC · AD.
Прямая l касается окружности с диаметром AB в точке C; M и N- проекции точек A и B на прямую l, D- проекция точки C на AB. Докажите, что CD2 = AM · BN.
В треугольнике ABC проведена высота AH, а из вершин B и C опущены перпендикуляры BB1 и CC1 на прямую, проходящую через точку A. Докажите, что DABC ~ DHB1C1.
На дуге BC окружности, описанной около равностороннего треугольника ABC, взята произвольная точка P. Отрезки AP и BC пересекаются в точке Q. Докажите, что 1/PQ = 1/PB + 1/PC.
На сторонах BC и CD квадрата ABCD взяты точки E и F так, что ÐEAF = 45°. Отрезки AE и AF пересекают диагональ BD в точках P и Q. Докажите, что SAEF/SAPQ = 2.
Прямая, проходящая через вершину C равнобедренного треугольника ABC, пересекает основание AB в точке M, а описанную окружность в точке N. Докажите, что CM · CN = AC2 и CM/CN = AM · BM/(AN · BN).
Дан параллелограмм ABCD с острым углом при вершине A. На лучах AB и CB отмечены точки H и K соответственно так, что CH = BC и AK = AB. Докажите, что:
а) DH = DK;
б) DDKH ~ DABK.
а) Стороны угла с вершиной C касаются окружности в точках A и B. Из точки P, лежащей на окружности, опущены перпендикуляры PA1,PB1 и PC1 на прямые BC,CA и AB. Докажите, что PC12 = PA1 · PB1 и PA1 : PB1 = PA2 : PB2.
б) Из произвольной точки O вписанной окружности треугольника ABC опущены перпендикуляры OA¢,OB¢,OC¢ на стороны треугольника ABC и перпендикуляры OA¢¢,OB¢¢,OC¢¢ на стороны треугольника с вершинами в точках касания. Докажите, что OA¢ · OB¢ · OC¢ = OA¢¢ · OB¢¢ · OC¢¢.
Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Расстояния от точки E до прямых AB,BC и CD равны a,b и c соответственно. Найдите расстояние от точки E до прямой AD.
В треугольнике ABC проведены высоты AA1,BB1 и CC1; B2 и C2- середины высоты BB1 и CC1. Докажите, что DA1B2C2 ~ DABC.
На высотах треугольника ABC взяты точки A1,B1 и C1, делящие их в отношении 2 : 1, считая от вершины. Докажите, что DA1B1C1 ~ DABC.
Окружность S1 с диаметром AB пересекает окружность S2 с центром A в точках C и D. Через точку B проведена прямая, пересекающая S2 в точке M, лежащей внутри S1, а S1 в точке N. Докажите, что MN2 = CN · ND.
Через середину C произвольной хорды AB окружности проведены две хорды KL и MN (точки K и M лежат по одну сторону от AB). Отрезки KN и ML пересекают AB в точках Q и P. Докажите, что PC = QC.
а) Окружность, проходящая через точку C, пересекает стороны BC и AC треугольника ABC в точках A1 и B1, а его описанную окружность в точке M. Докажите, что DAB1M ~ DBA1M.
б) На лучах AC и BC отложены отрезки AA1 и BB1, равные полупериметру треугольника ABC. M- такая точка его описанной окружности, что CM||A1B1. Докажите, что ÐCMO = 90°, где O- центр вписанной окружности.
В треугольнике ABC стороны AC и BC не равны. Докажите, что биссектриса угла C делит пополам угол между медианой и высотой, проведенными из этой вершины, тогда и только тогда, когда ÐC = 90°.
Известно, что в некотором треугольнике медиана, биссектриса и высота, проведенные из вершины C, делят угол на четыре равные части. Найдите углы этого треугольника.
Докажите, что в любом треугольнике ABC биссектриса AE лежит между медианой AM и высотой AH.
Дан треугольник ABC. На его стороне AB выбирается точка P и через нее проводятся прямые PM и PN, параллельные AC и BC соответственно (точки M и N лежат на сторонах BC и AC); Q- точка пересечения описанных окружностей треугольников APN и BPM. Докажите, что все прямые PQ проходят через фиксированную точку.
Продолжение биссектрисы AD остроугольного треугольника ABC пересекает описанную окружность в точке E. Из точки D на стороны AB и AC опущены перпендикуляры DP и DQ. Докажите, что SABC = SAPEQ.
В этом параграфе ABCD- вписанный четырехугольник, диагонали которого перпендикулярны. Мы будем использовать также следующие обозначения: O- центр описанной окружности четырехугольника ABCD, P- точка пересечения диагоналей.
Докажите, что ломаная AOC делит ABCD на две фигуры равной площади.
Известен радиус описанной окружности R.
а) Найдите AP2 + BP2 + CP2 + DP2.
б) Найдите сумму квадратов сторон четырехугольника ABCD.
Найдите сумму квадратов диагоналей, если известны длина отрезка OP и радиус окружности R.
Из вершин A и B опущены перпендикуляры на CD, пересекающие прямые BD и AC в точках K и L соответственно. Докажите, что AKLB- ромб.
Докажите, что площадь четырехугольника ABCD равна (AB · CD + BC · AD)/2.
Докажите, что расстояние от точки O до стороны AB равно половине длины стороны CD.
Докажите, что прямая, проведенная из точки P перпендикулярно BC, делит сторону AD пополам.
Докажите, что середины сторон четырехугольника ABCD и проекции точки P на стороны лежат на одной окружности.
а) Через вершины A,B,C и D проведены касательные к описанной окружности. Докажите, что образованный ими четырехугольник вписанный.
б) Четырехугольник KLMN вписанный и описанный одновременно; A и B- точки касания вписанной окружности со сторонами KL и LM. Докажите, что AK · BM = r2, где r- радиус вписанной окружности.
На сторонах треугольника ABC внешним образом построены треугольники ABC¢,AB¢C и A¢BC, причем сумма углов при вершинах A¢,B¢ и C¢ кратна 180°. Докажите, что описанные окружности построенных треугольников пересекаются в одной точке.
а) На сторонах BC,CA и AB треугольника ABC (или на их продолжениях) взяты точки A1,B1 и C1, отличные от вершин треугольника. Докажите, что описанные окружности треугольников AB1C1,A1BC1 и A1B1C пересекаются в одной точке.
б) Точки A1,B1 и C1 перемещаются по прямым BC,CA и AB так, что все треугольники A1B1C1 подобны одному и тому же треугольнику. Докажите, что точка пересечения описанных окружностей треугольников AB1C1,A1BC1 и A1B1C остается при этом неподвижной. (Треугольники предполагаются не только подобными, но и одинаково ориентированными.)
Внутри треугольника ABC взята точка X. Прямые AX, BX и CX пересекают стороны треугольника в точках A1, B1 и C1. Докажите, что если описанные окружности треугольников AB1C1, A1BC1 и A1B1C пересекаются в точке X, то X - точка пересечения высот треугольника ABC.
На сторонах BC,CA и AB треугольника ABC взяты точки A1,B1 и C1. Докажите, что если треугольники A1B1C1 и ABC подобны и противоположно ориентированы, то описанные окружности треугольников AB1C1,A1BC1 и A1B1C проходят через центр описанной окружности треугольника ABC.
Точки A¢,B¢ и C¢ симметричны некоторой точке P относительно сторон BC,CA и AB треугольника ABC.
а) Докажите, что описанные окружности треугольников AB¢C¢, A¢BC¢, A¢B¢C и ABC имеют общую точку.
б) Докажите, что описанные окружности треугольников A¢BC, AB¢C, ABC¢ и A¢B¢C¢ имеют общую точку Q.
в) Пусть I,J,K и O- центры описанных окружностей треугольников A¢BC,AB¢C,ABC¢ и A¢B¢C¢. Докажите, что QI : OI = QJ : OJ = QK : OK.
Четыре прямые образуют четыре треугольника.
а) Докажите, что описанные окружности этих треугольников имеют общую точку (точка Микеля ).
б) Докажите, что центры описанных окружностей этих треугольников лежат на одной окружности, проходящей через точку Микеля.
Прямая пересекает стороны AB,BC и CA треугольника (или их продолжения) в точках C1,B1 и A1; O,Oa,Ob и Oc- центры описанных окружностей треугольников ABC,AB1C1,A1BC1 и A1B1C; H,Ha,Hb и Hc- ортоцентры этих треугольников. Докажите, что:
а) DOaObOc ~ DABC.
б) серединные перпендикуляры к отрезкам OH,OaHa,ObHb и OcHc пересекаются в одной точке.
Четырехугольник ABCD вписанный. Докажите, что точка Микеля для прямых, содержащих его стороны, лежит на отрезке, соединяющем точки пересечения продолжений сторон.
Точки A,B,C и D лежат на окружности с центром O. Прямые AB и CD пересекаются в точке E, а описанные окружности треугольников AEC и BED пересекаются в точках E и P. Докажите, что:
а) точки A,D,P и O лежат на одной окружности;
б) ÐEPO = 90°.
Даны четыре прямые. Докажите, что проекции точки Микеля на эти прямые лежат на одной прямой.
В треугольнике ABC проведена высота AH; O- центр описанной окружности. Докажите, что ÐOAH = |ÐB – ÐC|.
Пусть H- точка пересечения высот треугольника ABC, а AA¢- диаметр его описанной окружности. Докажите, что отрезок A¢H делит сторону BC пополам.
Через вершины A и B треугольника ABC проведены две параллельные прямые, а прямые m и n симметричны им относительно биссектрис соответствующих углов. Докажите, что точка пересечения прямых m и n лежит на описанной окружности треугольника ABC.
а) Из точки A проведены прямые, касающиеся окружности S в точках B и C. Докажите, что центр вписанной окружности треугольника ABC и центр его вневписанной окружности, касающейся стороны BC, лежат на окружности S.
б) Докажите, что окружность, проходящая через вершины B и C любого треугольника ABC и центр O его вписанной окружности, высекает на прямых AB и AC равные хорды.
На сторонах AC и BC треугольника ABC внешним образом построены квадраты ACA1A2 и BCB1B2. Докажите, что прямые A1B,A2B2 и AB1 пересекаются в одной точке.
Окружности S1 и S2 пересекаются в точках A и B, причем касательные к S1 в этих точках являются радиусами S2. На внутренней дуге S1 взята точка C и соединена с точками A и B прямыми. Докажите, что вторые точки пересечения этих прямых с S2 являются концами одного диаметра.
Из центра O окружности опущен перпендикуляр OA на прямую l. На прямой l взяты точки B и C так, что AB = AC. Через точки B и C проведены две секущие, первая из которых пересекает окружность в точках P и Q, а вторая- в точках M и N. Прямые PM и QN пересекают прямую l в точках R и S. Докажите, что AR = AS.